Variationen über Pi

Hier wird folgende, schon Euler bekannte Formel variiert:

$\displaystyle \frac{\pi^2}{6}$

$\textstyle =$

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$

(1)

Mit Hilfe der Identität:

$\displaystyle 0$

$\textstyle =$

$\displaystyle \frac{1}{s} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} \frac{1}{s} \left[ \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) ^s-1 \right]$

(2)

$\displaystyle 0$

$\textstyle =$

$\displaystyle \frac{1}{s} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s \left( n+1 \right) ^s} \frac{1}{s} \left[ \left( n+1 \right) ^s - n^s \right]$

(3)

zeigt man sukzessive folgende Identitäten:

$\displaystyle \pi^2$

$\textstyle =$

$\displaystyle 6 + 6 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 \left( n+1 \right) }$

(4)

$\displaystyle \pi^2$

$\textstyle =$

$\displaystyle 9 + 3 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 \left( n+1 \right) ^2 }$

(5)

$\displaystyle \pi^2$

$\textstyle =$

$\displaystyle 10 - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3 \left( n+1 \right) ^3 }$

(6)

$\displaystyle \pi^2$

$\textstyle =$

$\displaystyle \frac{49}{5} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ \frac{1}{n^4 \left( n+1 \right) ^4 } + \frac{1}{5} \frac{1}{n^5 \left( n+1 \right) ^5 }\right]$

(7)

$\displaystyle \pi^2$

$\textstyle =$

$\displaystyle \frac{348}{35} - \sum_{n=1}^{\infty} \left[ \frac{9}{5} \frac{1}{... ...left( n+1 \right) ^6 } + \frac{1}{7}\frac{1}{n^7 \left( n+1 \right) ^7 }\right]$

(8)

usf.

Daraus kann man einen Algorithmus ableiten, der die Koeffizienten in obigen Reihen berechnet. Ein Python-Skript, welches das bewerkstelligt, findet man hier (entstanden ungefähr Mitte 2002, während eines Krankenhausaufenthaltes): pi2.py

Achtung: Ich war noch nicht in der Lage, streng zu zeigen, daß dieser Algorithmus wirklich korrekt ist. Eine Berechnung von Pi mit Hilfe einer dieser höheren Reihen mit vielen Teilsummanden war gescheitert, wobei mir unklar ist, ob dies an der Rechengenauigkeit oder an der Fehlerhaftigkeit des Algorithmus' lag. Ich habe das Thema nicht mehr weiterverfolgt.

Baumgärtel Christian 2006-05-10